operaciones de conjuntos : julio 2015

RESEÑA HISTÓRICA

En las matemáticas actuales el concepto de función se define del modo siguiente: Sean A y B conjuntos. Se llama función entre A y B a cualquier relación establecida entre los elementos de A y B de tal modo que a cada elemento de A le corresponde un único elemento de B. 1 Para representar las funciones se suele utilizar la notación: f : A → B para los conjuntos, f(x) = y para los elementos A se llama conjunto inicial y B es el conjunto final f(x) = y se expresa como y es la imagen de x a través de la aplicación f. Se pueden definir funciones entre cualquier tipo de conjuntos, pero las más interesantes son las que se establecen entre conjuntos de números. En los próximos temas vamos a estudiar funciones definidas en el conjunto de los números reales: las funciones reales (conjunto final) de variable real (conjunto inicial), f : R → R .

Par Ordenado

En matemáticas, un par ordenado es una pareja de objetos matemáticos, en la que se distingue un primer elemento y un segundo elemento. El par ordenado cuyo primer elemento es

a

y cuyo segundo elemento es

b

se denota como

(a, b)

Un par ordenado

(a, b)

no es el conjunto que contiene a

a

b

, denotado por

{a, b}

. Un conjunto está definido únicamente por sus elementos, mientras que en un par ordenado el orden de estos es también parte de su definición. Por ejemplo, los conjuntos {0, 1} y {1, 0} son idénticos, pero los pares ordenados (0, 1) y (1, 0) son distintos.

Los pares ordenados también se denominan 2-tuplas o vectores 2-dimensionales. La noción de una colección finita de objetos ordenada puede generalizarse a más de dos objetos, dando lugar al concepto de n-tupla.

Plano Cartesiano

El producto cartesiano de conjuntos, las relaciones binarias, las coordenadas cartesianas, las fracciones y las funciones se definen en términos de pares ordenados.

Dados dos conjuntos

X

Y

, la colección de todos los pares ordenados

(x, y)

, formados con un primer elemento en

X

y un segundo elemento en

Y

, se denomina el producto cartesiano de

X

Y

, y se denota

X \times Y

. El producto cartesiano de conjuntos permite definir relaciones y funciones.

Es habitual trabajar con colecciones ordenadas de más de dos objetos, sin más que extender la definición del par ordenado. Por ejemplo, un trío ordenado o terna ordenadaes una terna de objetos matemáticos en la que se distinguen un primer, segundo y tercer elemento. La propiedad principal de un trío ordenado es entonces:

$(a_1, a_2, a_3) = (b_1, b_2, b_3) \text{ si y solo si } a_1 = b_1 , \ a_2 = b_2 \text{ y } a_3 = b_3$

Relación

El concepto de relación surge de manera natural en el análisis de un sistema. Un ejemplo, en los números Naturales se establece la relación “… es menor que ...”. Bajo esta relación R el número 2 se relaciona con el 3: 2 es menor que 3, pero no así al contrario (3 no es menor que 2). Una relación es binaria cuando se establece entre dos objetos. Un ejemplo: R : x < y . Una relación es un conjunto de pares ordenados. Un par ordenado (también llamada pareja ordenada) consta de dos elementos: (a, b) en donde el orden en que aparece (primero a, después b) indica la relación: a Rb de a con b. Una relación asocia un elemento de un conjunto A con un elemento de otro conjunto B o con un elemento del mismo conjunto A.

Función

En matemáticas, se dice que una magnitud o cantidad es función de otra si el valor de la primera depende exclusivamente del valor de la segunda. Por ejemplo el área A de un círculo es función de su radio r: el valor del área es proporcional al cuadradodel radio, A = π·r². Del mismo modo, la duración T de un viaje de tren entre dos ciudades separadas por una distancia d de 150 km depende de la velocidad v a la que este se desplace: la duración es inversamente proporcional a la velocidad, d / v. A la primera magnitud (el área, la duración) se la denomina variable dependiente, y la cantidad de la que depende (el radio, la velocidad) es la variable independiente.

En análisis matemático, el concepto general de función, aplicación o mapeo se refiere a una regla que asigna a cada elemento de un primer conjunto un único elemento de un segundo conjunto (correspondencia matemática). Por ejemplo, cadanúmero entero posee un único cuadrado, que resulta ser un número natural (incluyendo el cero):

...	−2 → +4,	−1 → +1,	±0 → ±0,
	+1 → +1,	+2 → +4,	+3 → +9,	...

Esta asignación constituye una función entre el conjunto de los números enteros Z y el conjunto de los números naturales N. Aunque las funciones que manipulan números son las más conocidas, no son el único ejemplo: puede imaginarse una función que a cada palabra del español le asigne su letra inicial:

Tipos de Funciones

Biyectiva

En matemáticas, una función es biyectiva si es al mismo tiempo inyectiva y sobreyectiva; es decir, si todos los elementos del conjunto de salida tienen una imagen distinta en el conjunto de llegada, y a cada elemento del conjunto de llegada le corresponde un elemento del conjunto de salida.

Formalmente, dada una función

f

\begin{array}{rrcl} f : & X & \to & Y \\ & x & \to & y = f(x) \end{array}

La función es biyectiva si se cumple la siguiente condición:

\forall y \in Y \; : \quad \exists !\ x\in X \; / \quad f(x) = y

Es decir, si para todo

y

Y

se cumple que existe un único

x

X

, tal que la función evaluada en

x

es igual a

y

Dados dos conjuntos

X

Y

finitos, entonces existirá una biyección entre ambos si y sólo si

X

Y

tienen el mismo número de elementos.

Función Sobreyectiva

En matemática, una función

f \colon X \to Y \,

es sobreyectiva¹ (epiyectiva, suprayectiva,¹ suryectiva, exhaustiva¹ o subyectiva) si está aplicada sobre todo el codominio, es decir, cuando cada elemento de "Y" es la imagen de como mínimo un elemento de "X".

Formalmente,

\forall y \in Y \quad \exists x \in X : \quad f(x) = y

Inyectiva

En matemáticas, una función

f \colon X \to Y

es inyectiva si a elementos distintos del conjunto

X

(dominio) les corresponden elementos distintos en el conjunto

Y

(codominio) de

f

. Es decir, cada elemento del conjunto Y tiene a lo sumo una antiimagen en X, o, lo que es lo mismo, en el conjunto X no puede haber dos o más elementos que tengan la misma imagen.

Así, por ejemplo, la función de números reales

f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}

, dada por

f(x)=x^2

no es inyectiva, puesto que el valor 4 puede obtenerse como

f(2)

f(-2)

. Pero si el dominio se restringe a los números positivos, obteniendo así una nueva función

g:\mathbb{R}^+\to\mathbb{R}^+

entonces sí se obtiene una función inyectiva.

Dominio

Dominio de una función : Es el conjunto formado por los elementos que tienen imagen. Los valores que le damos a “X” ( variable independiente) forman el conjunto de partida. Gráficamente lo miramos en el eje horizontal ( abscisas), leyendo como escribimos de izquierda a derecha.

Rango

Rango de una función: Es el conjunto formado por las imágenes. Son los valores que toma la función "Y" (variable dependiente), por eso se denomina “f(x)”, su valor depende del valor que le demos a "X". Gráficamente lo miramos en el eje vertical (ordenadas), leyendo de abajo a arriba. El Rango de una función es el conjunto formado por las imagenes f(x) de los valores de “X” que pertenecen al Dominio de dicha función

Funciones Lineales y Cuadráticas

Una función de la forma f(x) = mx + b se conoce como una función lineal, donde m representa la pendiente y b representa el intercepto en y. La representación gráfica de una función lineal es una recta. Las funciones lineales son funciones polinómicas.

Ejemplo:

F(x) = 2x - 1

Es una función lineal con pendiente m = 2 e intercepto en y en (0, -1). Su gráfica es una recta ascendente.

Para trazar la gráfica de una función lineal solo es necesario conocer dos de sus puntos.

La ecuación matemática que representa a esta función, como ya vimos, es f(x) = ax + b, donde f(x) corresponde al valor de y, entonces

y = ax + b

Donde "a" es la pendiente de la recta, y "b" es la ordenada al origen.

La pendiente indica la inclinación de la recta, cuanto sube o baja y cuanto avanza o retrocede. Esto depende del signo que tenga.

El valor de "a" siempre es una fracción (si no tiene nada abajo, es porque tiene un 1), donde el numerador (p) me indica cuanto sube o baja, y el denominador (q) indica cuanto avanzo o retrocedo.

Aprendido esto, y según el signo de la fracción, la pendiente se marca de la siguiente forma:

La ordenada al origen (b) es el valor donde la recta corta al eje y.

La recta siempre va a pasar por el punto (0; b)

Representación gráfica de una función lineal o función afín

Para graficar una recta, alcanza con los datos que da la ecuación matemática de la función, y se opera de la siguiente manera:

1. Se marca sobre el eje y la ordenada al origen, el punto por donde la recta va a cortar dicho eje.
2. Desde ese punto, subo o bajo según sea el valor de "p" y avanzo o retrocedo según indique el valor de "q". En ese nuevo lugar, marco el segundo punto de la recta.
3. Se podría seguir marcando puntos con la misma pendiente, pero con 2 de ellos ya es suficiente como para poder graficar la recta.
4. Teniendo ya los dos puntos, con regla se traza la recta que pasa por los mismos.

Ejemplo:

Graficar la siguiente función:

La ordenada al origen (3) me indica que me debo parar sobre el eje y en el 3.

También podemos graficar una función dando valores a x y obteniendo dos puntos en las coordenadas.

Ejemplo:

Graficar la función dada por f(x) = 2x – 1

Solución

Como la función es lineal se buscan dos puntos de la recta; para ello, se le dan valores a x y se encuentran sus imágenes respectivas, esto es:

Si x = 0, se tiene que f (0) = 2(0) – 1 = - 1

Si x = 2, se tiene que f (2) = 2(2) – 1 = 3

Así, los puntos obtenidos son (0, -1) y (2, 3), por los cuales se traza la gráfica correspondiente.

Función cuadrática

Una función de la forma f(x) = ax2 + bx + c, donde a, b y c son constantes y a es diferente de cero, se conoce como una función cuadrática.

La representación gráfica de una función cuadrática es una parábola. Una parábola abre hacia arriba si a > 0 y abre hacia abajo si a < 0. El vértice de una parábola se determina por la fórmula:

Las funciones cuadráticas son funciones polinómicas.

Ejemplo:

F(x) = x2 representa una parábola que abre hacia arriba con vértice en (0,0).

operaciones de conjuntos

domingo, 19 de julio de 2015

Relaciones y Funciones

Par Ordenado

Plano Cartesiano

Relación

Función

Tipos de Funciones

Dominio

Rango

Funciones Lineales y Cuadráticas

Función cuadrática