operaciones de conjuntos : Números Reales

RESEÑA HISTÓRICA

En matemáticas, los números reales (designados por ℝ) incluyen tanto a los números racionales (positivos, negativos y el cero) como a los números irracionales; y en otro enfoque, trascendentes y algebraicos. Los irracionales y los trascendentes¹ (1970) no se pueden expresar mediante una fracción de dos enteros con denominador no nulo; tienen infinitas cifras decimales periódicas, tales como: √5,

π

, el número real

log

2, cuya trascendencia fue enunciada por Euler en el siglo XVIII.¹

Los números reales pueden ser descritos y construidos de varias formas, algunas simples aunque carentes del rigor necesario para los propósitos formales de matemáticas y otras más complejas pero con el rigor necesario para el trabajo matemático formal.

Durante los siglos XVI y XVII el cálculo avanzó mucho aunque carecía de una base rigurosa, puesto que en el momento no se consideraba necesario el formalismo de la actualidad, y se usaban expresiones como «pequeño», «límite», «se acerca» sin una definición precisa. Esto llevó a una serie de paradojas y problemas lógicos que hicieron evidente la necesidad de crear una base rigurosa para la matemática, la cual consistió de definiciones formales y rigurosas (aunque ciertamente técnicas) del concepto de número real.² En una sección posterior se describirán dos de las definiciones precisas más usuales actualmente: clases de equivalenciade sucesiones de Cauchy de números racionales y cortaduras de Dedekind.

π

, el número real

log

2, cuya trascendencia fue enunciada por Euler en el siglo XVIII.¹

Durante los siglos XVI y XVII el cálculo avanzó mucho aunque carecía de una base rigurosa, puesto que en el momento no se consideraba necesario el formalismo de la actualidad, y se usaban expresiones como «pequeño», «límite», «se acerca» sin una definición precisa. Esto llevó a una serie de paradojas y problemas lógicos que hicieron evidente la necesidad de crear una base rigurosa para la matemática, la cual consistió de definiciones formales y rigurosas (aunque ciertamente técnicas) del concepto de número real.² En una sección posterior se describirán dos de las definiciones precisas más usuales actualmente: clases de equivalencia de sucesiones de Cauchy de números racionales y cortaduras de Dedekind.

Números Reales como un campo

Al "construir" la matemática, los números naturales, son una clase de equivalencia de conjuntos coordinables. Los números enteros son una clase de equivalencia de parejas ordenadas de números naturales. Los números racionales son una clase de equivalencia de parejas ordenadas de números enteros.

Los números irracionales son los elementos de la recta real que NO pueden expresarse mediante el cociente de dos enteros y se caracterizan por poseer infinitas cifras decimales que no siguen un periodo definido.

De este modo ya pueden definirse los números reales que surgen de la unión de lo que son los conjuntos de números naturales, enteros, irracionales y racionales.

Los números reales son llamados campo de los números reales. Esto es por que son un grupo abeliano, es decir poseen la ley de cerradura, la conmutativa, asociativa, distributiva y poseen elementos neutros e inversos. Todos estos elementos hacen que los números reales sean un campo.

Axiomas de números reales

Fue propuesto por el matemático alemán David Hilbert. En textos actuales de cálculo y análisis matemático aparecen enunciados equivalentes al de Hilbert.⁵

Artículo principal: Axiomas de los números reales

Existen diferentes formas de construir el conjunto de los números reales a partir de axiomas, siendo la caracterización más común, el conocido como método directo que introduce el sistema (ℝ, +,., ≤), donde los elementos de ℝ se llaman números reales, + y. son dos operaciones en ℝ, ≤ es una relación de orden en ℝ.⁶ Se presenta una variante axiomática, mediante las siguientes tres propiedades:

Un conjunto $(K,+,\cdot, \leq)$ es el conjunto de los números reales si satisface las siguientes tres condiciones:

$(K,+,\cdot)$ es un campo.

$(K,\leq)$ es un conjunto totalmente ordenado y el orden es compatible con las operaciones del campo:
Si $a\le b$ entonces $a+c\le b+c$ ;
Si $a\le b$ y $0\le c$ entonces $ac \le bc$ .

El conjunto K es completo: satisface el axioma del supremo:
Todo conjunto no vacío y acotado superiormente tiene un supremo.

El axioma del supremo es una variante del Principio de Weirstrass" que dice que toda sucesión de números reales acotada superiormente tiene supremo

Las primeras dos condiciones definen el concepto de campo ordenado, mientras que la tercera propiedad es de naturaleza topológica y es la que diferencia al conjunto de los números reales de todos los demás campos ordenados. Hay que hacer notar que, en principio pueden existir diferentes conjuntos que satisfagan las mismas condiciones y que podrían ser diferentes al conjunto de los números reales, pero un teorema establece que si eso sucediera, ambas estructuras serían esencialmente la misma.

Cualquier campo ordenado que cumpla las tres propiedades mencionadas es isomorfo al conjunto de los números reales.

En vista de lo anterior podemos hablar de el conjunto de los números reales (y no de un conjunto de números reales) y estableciendo su unicidad se puede usar el símbolo ℝ para representarlo.

Cada una de las primeras dos propiedades mencionadas al inicio de la sección corresponden a su vez a otra serie de axiomas, de modo que si se hace un desglose, puede caracterizarse el conjunto de los números reales como un conjunto que satisfaga la siguiente lista de axiomas.

Si $x,y\in\mathbb{R}$ , entonces $x+y\in\mathbb{R}$ (Cerradura en la suma)
Si $x,y\in\mathbb{R}$ , entonces $x+y=y+x\,$ (Conmutatividad en la suma)
Si $x,y,z\in\mathbb{R}$ , entonces $(x+y)+z=x+(y+z)\,$ (Asociatividad en la suma)
Existe $0\in\mathbb{R}$ de manera que $x+0=x\,$ para todo $x\in\mathbb{R}$ (Neutro aditivo)
Para cada $x\in\mathbb{R}$ existe un elemento $-x\in\mathbb{R}$ tal que $-x+x=0\,$ (Inverso aditivo)
Si $x,y\in\mathbb{R}$ , entonces $xy\in\mathbb{R}$ (Cerradura en la multiplicación)
Si $x,y\in\mathbb{R}$ , entonces $xy=yx\,$ (Conmutatividad en la multiplicación)
Si $x,y,z\in\mathbb{R}$ , entonces $(xy)z=x(yz)\,$ (Asociatividad en la multiplicación)
Existe $1\in\mathbb{R}$ de manera que $x\cdot{1}=1\cdot{x}=x\,$ para cualquier $x\in\mathbb{R}$ (Neutro multiplicativo)
Para cada $x\neq 0,x\in\mathbb{R}$ existe un elemento $x^{-1}\in\mathbb{R}$ tal que $x^{-1}x=1\,$ (Inverso multiplicativo)
Si $x,y,z\in\mathbb{R}$ , entonces $x(y+z)=xy+xz\,$ (Distributividad de la multiplicación en la suma)
Si , entonces se cumple sólo una de estas: (Tricoto mía)
- $x<y\,$
- $y<x\,$
- $x=y\,$
Si $x,y,z\in\mathbb{R}$ , $x<y\,$ y $y<z\,$ entonces $x<z\,$ (Transitiva)
Si $x,y,z\in\mathbb{R}$ y $x<y\,$ , entonces $x+z<y+z\,$ (Monotonía en la suma)
Si $x,y,z\in\mathbb{R}$ , $x<y\,$ y $0<z \,$ , entonces $xz<yz\,$ (Monotonía en la multiplicación)
Si $E \subset \mathbb{R}$ es un conjunto no vacío acotado superiormente en $\mathbb{R}$ , entonces $E \,$ tiene supremo en $\mathbb{R}$ (Axioma del supremo)

Los axiomas del 1 al 15 corresponden a la estructura más general de cuerpo ordenado. El último axioma es el que distingue

\mathbb{R}

de otros cuerpos ordenados como

\mathbb{Q}

. Debe señalarse que los axiomas 1 a 15 no constituyen una teoría categórica ya que puede demostrarse que admiten al menos un modelo no estándar diferente de los números reales, que es precisamente el modelo en el que se basa la construcción de los números hiperreales

Teoremas de números reales

A partir de los axiomas de R, los axiomas de orden y de las definiciones mostraremos algunas de las propiedades de los reales demostrándolas como teoremas que nos servirán para entender la naturaleza y comportamiento de este conjunto de números.

TEOREMA 1

En los números reales se cumplen las leyes cancelativas y uniforme con la suma, es decir:

i) Si x+y=x+z entonces y=z.

ii) Si y=z entonces x+y=x+z.

Demostración/:

i)
y = 0+y
y = ((-x)+x)+y
y = (-x)+(x+y)
y=(-x)+(x+z)
y =(-x)+(x+z)
y=((-x)+x)+z
y= =0+z
y==z

la anterior demostración se justifica usando el axioma 4, el axioma 5, ley asociativa, la hipótesis, ley asociativa, el axioma 5 y el axioma 4 respectivamente.

ii)Por ley reflexiva x+z=x+z pero como z=y entonces por ley transitivax+z= x+y.

TEOREMA 2
Los neutros e inversos aditivos y multiplicativos son únicos.

Demostración/:

Supongamos que existen 01 y 02 dos neutros aditivos, entonces01 + 02 = 01 y 02 +01 = 02 luego por ley transitiva y conmutativa 01= 01 + 02=02 +01 = 02.luego estos neutros aditivos son el mismo. (Análogamente se demuestra para el neutro multiplicativo).
Ahora supongamos que para x hay dos inversos aditivos x1 y x2tal que x+ x1 = 0 y x+ x2 = 0 por ley transitiva tenemos que x+ x1 = x+ x2 luego por ley cancelativa x1 = x2. Luego los inversos aditivos para x real son el mismo. (Análogamente se demuestra para el inverso multiplicativo teniendo en cuenta que x≠0).

TEOREMA 3
En los números reales distintos de cero se cumplen las leyes cancelativas y uniforme con la multiplicación, es decir:

i) Si x•y=x•z entonces y=z.
ii) Si y=z entonces x•y=x•z.

Demostración/:La demostacion es analoga a la del Teorema1.

TEOREMA 4

-0=0.

Demostración/:Tenemos que 0+(-0) = 0 y 0+0 = 0 luego por ley transitiva 0+(-0) = 0+0, finalmente por ley cancelativa 0 = -0.

TEOREMA 5Para x real se cumple: -(-x)= x.

Demostración/:

–(-x) = 0+(–(-x))=(x+(-x))+ (–(-x))= x+((-x)+ (–(-x)))= x+0=x.Podemos ver que usamos los axiomas 4 y 5 y el hecho de que (–(-x)) es el inverso aditivo de (-x).

LEMA

Para toda x real se cumple: x•0=0•x=0.
Demostración/:
x•0=x• (0+0) = x•0+x•0, luego x•0 = x•0+x•0 y por ley cancelativa 0 = x•0 ò x•0=0, de la misma forma demostramos que 0•x=0, por lo que concluimos que x•0=0•x=0.

TEOREMA 6
Para x, y reales se cumple: (-x) •y= x•(-y) = -(x•y).

Demostración/:
Por lema 0=0•y=(x+(-x)) 0•y = x•y+(-x) •y, entonces 0= x•y+(-x)•y y por ley uniforme se puede sumar -(x•y) y tenemos que -(x•y) = (-(x•y))+x•y+(-x)•y luego (x•y))+x•y=0 por lo que se tiene que: -(x•y) = 0+(-x)•y =+(-x)•y. Analogamente se demuestra que x•(-y)= -(x•y).

TEOREMA 7Para x≠0 real se cumple: 1/(1/x)= x.

Demostración/:

Esta demostracion es parecida al adel teorema 5.
TEOREMA 8Para x, y reales distintos de cero se cumple: 1/(x•y)= (1/x)•(1/y).

Demostración/:

1/(x•y)=1•1•1/(x•y)
1/(x•y)= (x•(1/x)) • (y•(1/y))•1/(x•y)
1/(x•y)= (x•y) • ((1/x)•(1/y))•1/(x•y)
1/(x•y)=((1/x)•(1/y))• ((x•y) • 1/(x•y))
1/(x•y)= (1/x)•(1/y).Aquí hemos usando en repetidas ocasiones propiedades como la ley conmutativa y asociativa para el producto y la existencia de los neutros e inversos multiplicativos.

TEOREMA 9
Para x, y reales distintos de cero se cumple: 1/(x/y)= y/x.

Demostración/:
Aquí vemos como los Teoremas 7 y 8 son usados junto con las propiedades conmutativa y asociatativa del producto para demostrar lo requerido.

1/(x/y)= 1/(x •(1/y))=(1/x)•(1/(1/y))=(1/x) •y = y/x.

TEOREMA 10
Para x, z reales y w, y reales distintos de cero se cumple: x/y + z/w = (x•w+ z•y)/ y•w.

Demostración/:
(x/y)+(z/w)= (x/y+z/w)•1
(x/y)+(z/w)= (x/y+z/w)•((y•w)(1/y•w))
(x/y)+(z/w)= ((x/y+z/w)(y•w))(1/y•w)
(x/y)+(z/w)= (x/y• (y•w)+z/w• (y•w))(1/y•w)
(x/y)+(z/w)= (x•w+ y•z)(1/y•w)
(x/y)+(z/w)= (x•w+ y•z)/(y•w)
Note que en esta demostración usamos los axiomas 2, 3, 6 y 7.

Razón y Proposición

1. RAZONES

La razón de dos números resulta de dividir ambos números. Por ejemplo la razón de 7 a 4 se escribe 7/4 o 7:4 y se lee siete es a cuatro. El primer término es el antecedente y el segundo consecuente.

2. PROPORCIONES.

Consiste en la igualdad entre 2 razones y se representa de dos maneras:

a/b=c/d o a:b::c:d

Y se lee a es a b como c es a d. Los puntos a y d se llaman extremos y los puntos b y c se llaman medios.

PROPIEDADES.

A) En toda proporción el producto de los medios es igual al producto de los extremos.

a×d=b×c

B) En toda proporción un MEDIO es igual al producto de  los eztremos dividido por el otro MEDIO.

b= a×d͟∕c

C) En toda proporción un EXTREMO Es igual al producto de los medios dividido por el otro EXTREMO.

a=b×c∕d

PROPORCIONALIDAD DIRECTA.

Cuando el cociente entre dos magnitudes constante decimos que las magnitudes son directamente proporcionales.

EJEMPLO

Si un kilogramo de naranjas cuesta $1200 ¿Cuánto cuestan 8 kilogramos?

1/3=1200/x         →     x=1200×3/1          x= $3600

EXAMPLE

1. Por cada 5 libras de peso en una persona, aproximadamente 2 l ibras  son de músculo. Calcular cuanto pesan los músculos en un niño de 4lb, 62Lb, 85Lb.

2.El precio por galón de gasolina es de $3250. Elaborar una tabla que indique el precio de 2, 5, 7, 10 galones,

3. Juan entrena ciclismo. La  siguiente tabla registra el número de vueltas y el tiempo empleado por vuelta. Completa la tabla

N Vueltas

4

8

20

23

30

Tiempo

12

35

50

PROPORCIONALIDAD INVERSA.

Si una magnitud crece mientras la otra decrece decimos que son dos magnitudes inversamente proporcionales.  El producto constante se llama constante de proporcionalidad inversa.

Cuando el producto de cada par de valores de magnitudes que se relacionan es constante, son inversamente proporcionales.

EJEMPLO.

En  una camioneta se puede transportar 280 litros de agua. la tabla muestra algunas posibilidades de transportar el agua, según el número de garrafas y la capacidad de cada uno.

Nª DE GARRAFAS

CAPACIDAD DE GARRAFA (L=

PRODUCTO

10

28

280

20

14

280

40

7

280

70

4

280

140

2

280

Intervalos

Los intervalos están determinados por dos números que se llaman extremos. En un intervalo se encuentran todos los números comprendidos entre ambos y también pueden estar los extremos.

Intervalo abierto

Intervalo abierto, (a, b), es el conjunto de todos los números reales mayores que a y menores que b.

(a, b) = {x Pertenece

/ a < x < b}

Intervalo cerrado

Intervalo cerrado, [a, b], es el conjunto de todos los números reales mayores o iguales que a y menores o iguales que b.

[a, b] = {x Pertenece

/ a ≤ x ≤ b}

Intervalo semiabierto por la izquierda

Intervalo semiabierto por la izquierda, (a, b], es el conjunto de todos los números reales mayores que a y menores o iguales que b.

(a, b] = {x Pertenece

/ a < x ≤ b}

Intervalo semiabierto por la derecha

Intervalo semiabierto por la derecha, [a, b), es el conjunto de todos los números reales mayores o iguales que a y menores que b.

[a, b) = {x Pertenece

/ a ≤ x < b}

Cuando queremos nombrar un conjunto de puntos formado por dos o más de estos intervalos, se utiliza el signo Unión

(unión) entre ellos.

Ecuación

Una ecuación es una igualdad matemática entre dos expresiones algebraicas, denominadas miembros, en las que aparecen valores conocidos o datos, y desconocidos o incógnitas, relacionados mediante operaciones matemáticas.^{nota 1} Los valores conocidos pueden ser números, coeficientes o constantes; y también variables cuya magnitud pueda ser establecida a través de las restantes ecuaciones de un sistema, o bien mediante otros procesos.^{nota 2} ^{[cita requerida]} Las incógnitas, representadas generalmente por letras, constituyen los valores que se pretende hallar. Por ejemplo, en la ecuación:

$\overbrace{3x-1}^{\text{primer miembro}}=\overbrace{9+x}^{\text{segundo miembro}}$

Tipos de ecuación

Las ecuaciones pueden clasificarse según el tipo de operaciones necesarias para definirlas y según el conjunto de números sobre el que se busca la solución. Entre los tipos más frecuentes están:

Ecuaciones algebraicas
- De primer grado o lineales
- De segundo grado o cuadráticas
- Diofánticas o diofantinas
- Racionales, aquellas en las que uno o ambos miembros se expresan como un cociente de polinomios
Ecuaciones trascendentes, cuando involucran funciones no polinómicas, como las funciones trigonométricas, exponenciales, logarítmicas, etc.
Ecuaciones diferenciales
- Ordinarias
- En derivadas parciales
Ecuaciones integrales
Ecuaciones funcionales

Inecuaciones

Una inecuación es una desigualdad algebraica en la que sus dos miembros aparecen ligados por uno de estos signos:

<	menor que	2x − 1 < 7
≤	menor o igual que	2x − 1 ≤ 7
>	mayor que	2x − 1 > 7
≥	mayor o igual que	2x − 1 ≥ 7

Resolución de inecuaciones de primer grado

1º Quitar paréntesis.

2º Quitar denominadores.

3º Agrupar los términos en x a un lado de la desigualdad y los términos independientes en el otro.

4º Efectuar las operaciones

5º Como el coeficiente de la x es negativo multiplicamos por −1, por lo que cambiará el sentido de la desigualdad.

6º Despejamos la incógnita.

Obtenemos la solución como una desigualdad, pero ésta también podemos expresarla:

De forma gráfica

Como un intervalo

Resolución de sistemas de inecuaciones con una incógnita

Se resuelve cada inecuación por separado, siendo el conjunto solución del sistema la intersección de los conjuntos soluciones de ambas inecuaciones.

Inecuaciones de segundo grado

1ºIgualamos el polinomio del primer miembro a cero y obtenemos las raíces de la ecuación de segundo grado.

2º Representamos estos valores en la recta real. Tomamos un punto de cada intervalo y evaluamos el signo en cada intervalo:

3º La solución está compuesta por los intervalos (o el intervalo) que tengan el mismo signo que el polinomio.

Si el discriminante es igual a cero:

Solución

x² + 2x +1 ≥ 0 (x + 1)² ≥ 0

x² + 2x +1 > 0 (x + 1)² > 0

x² + 2x +1 ≤ 0 (x + 1)² ≤ 0 x = − 1

x² + 2x +1 < 0 (x + 1)² < 0

Cuando no tiene raíces reales, le damos al polinomio cualquier valor si:

El signo obtenido coincide con el de la desigualdad, la solución es .

El signo obtenido no coincide con el de la desigualdad, no tiene solución.

Solución

x² + x +1 ≥ 0

x² + x +1 > 0

x² + x +1 ≤ 0

x² + x +1 < 0

		Solución
x² + 2x +1 ≥ 0	(x + 1)² ≥ 0
x² + 2x +1 > 0	(x + 1)² > 0
x² + 2x +1 ≤ 0	(x + 1)² ≤ 0	x = − 1
x² + 2x +1 < 0	(x + 1)² < 0

	Solución
x² + x +1 ≥ 0
x² + x +1 > 0
x² + x +1 ≤ 0
x² + x +1 < 0

Inecuaciones racionales

Se resuelven de un modo similar a las de segundo grado, pero hay que tener presente que el denominador no puede ser cero.

1º Hallamos las raíces del numerador y del denominador.

2º Representamos estos valores en la recta real, teniendo en cuenta que las raíces del denominador, independientemente del signo de la desigualdad, tienen que ser abiertas.

3ºTomamos un punto de cada intervalo y evaluamos el signo en cada intervalo:

4ºLa solución está compuesta por los intervalos (o el intervalo) que tengan el mismo signo que la fracción polinómica.

Sistemas de inecuaciones

Inecuaciones lineales con dos incógnitas

Su solución es uno de los semiplanos que resulta de representar la ecuación resultante, que se obtiene al transformar la desigualdad en una igualdad.

1º Transformamos la desigualdad en igualdad.

2º Damos a una de las dos variables dos valores, con lo que obtenemos dos puntos.

3º Al representar y unir estos puntos obtenemos una recta.

4º Tomamos un punto, por ejemplo el (0, 0), los sustituimos en la desigualdad. Si se cumple, la solución es el semiplano donde se encuentra el punto, si no la solución será el otro semiplano.

Valor absoluto de un números entero

El valor absoluto de un número entero es el número natural que resulta al suprimir su signo.

El valor absoluto lo escribiremos entre barras verticales.

|−5| = 5

|5| = 5

Valor absoluto de un número real

Valor absoluto de un número real a, se escribe |a|, es el mismo número a cuando es positivo o cero, y opuesto de a, si a es negativo.

|5| = 5            |-5 |= 5         |0| = 0

|x| = 2           x = −2           x = 2

|x|< 2        − 2< x < 2        x  (−2, 2 )

|x|> 2            x< −2 ó x>2     (−∞ , −2)  (2, +∞)

|x −2 |< 5     − 5 < x − 2 < 5

− 5 + 2 < x < 5 + 2     − 3 < x < 7

Propiedades del valor absoluto

1 Los números opuestos tienen igual valor absoluto.

|a| = |−a|

|5| = |−5| = 5

2El valor absoluto de un producto es igual al producto de los valores absolutos de los factores.

|a · b| = |a| ·|b|

|5 · (−2)| = |5| · |(−2)| |− 10| = |5| · |2| 10 = 10

3El valor absoluto de una suma es menor o igual que la suma de los valores absolutos de los sumandos.

|a + b| ≤ |a| + |b|

|5 + (−2)| ≤ |5| + |(−2)| |3| = |5| + |2| 3 ≤ 7

Función valor absoluto

Las funciones en valor absoluto se transforman en funciones a trozos, siguiendo los siguientes pasos:

1. Se iguala a cero la función, sin el valor absoluto, y se calculan sus raíces.

2. Se forman intervalos con las raíces y se evalúa el signo de cada intervalo.

3. Definimos la función a trozos, teniendo en cuenta que en los intervalos donde la x es negativa se cambia el signo de la función.

4 Representamos la función resultante.

operaciones de conjuntos

miércoles, 24 de junio de 2015